音樂和數學

音樂理論在現代數學中沒有公理化的基礎，但是音樂的基礎可以用數學的方式來描述（在聲學中），並且表現出“壹系列的數字特性”。音樂的形式，節奏和音階，音符的音高和脈搏的節奏等元素可以與時間和頻率的測量有關，在幾何學上提供了現成的類比。

音樂與數學之間的密切關系自古以來就被研究過了：畢達哥拉斯學派給出了壹個經典的例子，畢達哥拉斯派（Pythagoreans）賦予它們神秘的含義，根據這個例子，壹個音階的不同音調與比例整數之間：減半的hal子手發出高八度音，減小到3/4，減少到2/3，等等。

音樂領域應用的大量數學來自於聲學物理學及相關問題的研究。如果用數學分數表示同壹節奏的樂器，我們知道在任何噪音的基礎上都有無數的駐波的貢獻，並且任何聲音都可以通過諧波分析被分解成正弦波用傅裏葉變換算法數學表示）。

結構化和交流創作和聽音樂的新方法的嘗試導致了集合論，抽象代數和數論的音樂應用。壹些作曲家將黃金比例和斐波納契數字納入他們的作品。

用更抽象的方式，音樂在其構成方面也與數學有關（它要求在不同高度之間，不同時間之間以及表演者不同的聲音之間分配聲音）。這種音樂分析在幾個世紀以來壹直有著傑出的音樂家（想想巴赫的經典音樂幾何形狀），甚至在接近我們的時代，他也知道了新的命運（例如20世紀的達姆施塔特Kranischstein研究所，科隆廣播電臺電子音樂工作室，米蘭的音樂音韻中心和巴黎的IRCAM）。

雖然古代中國人，印度人，埃及人和美索不達米亞人已經研究過聲音的數學原理，但是古希臘的畢達哥拉斯學者（特別是Philolaus和Archytas）是第壹個研究音樂尺度表達的數字比率特別是小整數的比例。他們的中心主義是“壹切自然都是由數字產生的和諧”。

從柏拉圖時代起，和聲被認為是物理學的壹個基本分支，現在被稱為音樂聲學。早期的印度和中國的理論家們表現出類似的方法：都試圖表明，諧波和節奏的數學規律不僅對於我們對世界的理解，而且對於人類福祉都是至關重要的。孔子像畢達哥拉斯壹樣把小1,2,3,4作為完美的來源。

從十七世紀開始，許多音樂家都經歷了紮實的數學知識的考驗（例如，朱塞佩·塔爾蒂尼（Giuseppe Tartini）在1754年根據真正的和諧科學在音樂論文中提供了證據，所以1971年音樂中的伊恩尼斯·西納基斯（Iannis Xenakis），皮埃爾·布列茲（Pierre Boulez）玻璃畢業生在數學和他們的藝術靈感）。

如果沒有韻律結構的界限 - 壹個基本平等和規律的脈沖重復，口音，短語和持續時間的安排 - 音樂將是不可能的。現代音樂中使用的計量器和測量等術語也反映了音樂與天文學在計數，算術以及時間和周期精確測量方面的歷史重要性，這是物理學的基礎。

音樂形式的元素往往建立嚴格的比例或hypermetric結構（數字2和3的權力）。

音樂形式是擴展短小音樂的計劃。 “計劃”壹詞也用於建築，音樂形式經常與之比較。像建築師壹樣，作曲家必須考慮作品的功能和可用的手段，實踐經濟，利用重復和秩序。被稱為二元和三元（“雙重”和“三重”）形式的常見類型再次證明了小整數值對音樂的可理解性和吸引力的重要性。

跳動現象是當兩個相似的頻率音符（但不相同）被播放時。那麽就會有壹種聽起來接近於前兩個頻率的聲音的印象，然而其強度隨著時間的推移而慢慢地跟前兩個聲音的頻率接近壹樣。出於這個原因，節奏被用於確定在調諧樂器時是否有任何下降或上升的音符。

這種現象的解釋部分在於聲波的物理性質，部分在於我們的耳朵感知聲音的方式。如果我們把註意力集中在兩個純音的重疊上（即它們可以用正弦波表示），並且為了簡單起見，

音階是用於制作或描述音樂的離散音高。西方傳統中最重要的音階是全音階音階，而其他許多音階則在各個歷史時期和世界各地被使用和提出。每個音調對應於以赫茲（Hz）表示的特定頻率，有時被稱為每秒周期（c.p.s.）。音階有重復的間隔，通常是八度。任何音高的八度指的是恰好是給定音高兩倍的頻率。

成功superoctaves是發現頻率的四倍，八倍，十六倍，等等的音調。基頻的壹半，四分之壹，八分之壹等的頻率被稱為次小節。在音樂和諧的情況下，如果壹個給定的音調被認為是壹致的，那麽就不會考慮其八度音。因此，任何音符及其八度音壹般都會在音樂系統中被找到類似的命名（例如，視情況而定，所有音符都將被稱為doh或A或Sa）。

當以頻率帶寬表示時，倍頻程A2-A3跨越110Hz到220Hz（跨度= 110Hz）。下壹個八度將從220赫​​茲跨度到440赫茲（跨度= 220赫茲）。第三個八度音階從440赫茲到880赫茲（跨度= 440赫茲）等等。每個連續的八度跨越前壹個八度的頻率範圍的兩倍。

因為我們通常對音高（稱為音程）之間的關系或比率感興趣，而不是在描述音階時精確的音高本身，所以通常參考所有音階音高與特定音高的比例，被賦予壹個值（通常寫成1/1），通常是作為該比例的補音的壹個音符。對於區間大小比較，經常使用分。

調音系統主要有兩大系列：平等氣質和純正調音。通過將壹個八度音階除以在對數尺度上相等的間隔來建立相等的氣質量表，其導致完全均勻分割的音階，但是具有無理數的頻率比率。通過將頻率乘以有理數來構建尺度，這導致頻率之間的簡單比率，但是具有不均勻的尺度劃分。

平等調和與平調之間的壹個主要區別是在兩個音符合在壹起時的聲音節拍差異，這影響了和諧與不和諧的主觀體驗。這兩個系統和絕大多數音樂壹般都具有在每個倍頻程間隔上重復的音階，其定義為2：1的頻率比。換句話說，每當頻率翻倍時，給定的比例重復。

下面是Ogg Vorbis文件，證明了正確的語調和平等的氣質之間的區別。您可能需要多次播放樣本才能找出差異。

連續播放兩個正弦波 - 這個樣本在550Hz處有半步（C♯處於正好的聲調標度），接著是554.37Hz（平均音階中的C♯）的半步。
相同的兩個音符，對A440踏板設置 - 這個樣品包括壹個“二元”。下面的音符是壹個常數A（任壹音階為440赫茲），上面的音符為第壹個1“的等回火音階的C♯，最後壹個音符的最後壹個音符的C♯。相位差異使得選取過渡比前壹個樣本更容易。

五音調整是壹種最常見的正義調式，它是壹種使用單壹基本頻率的規則數諧波調音的系統。這是約翰尼斯·開普勒在他的和聲蒙迪（1619）中提到的關於行星運動的尺度之壹。蘇格蘭數學家和音樂理論家亞歷山大·馬爾科姆（Alexander Malcolm）於1721年在其“論語氣：投機的，實踐的和歷史的”壹書中以20世紀的理論家何塞·維施密特（Arthur Wuerschmidt）它的壹種形式被用於印度北部的音樂。

美國作曲家特裏·萊利（Terry Riley）在他的“新阿爾比恩的豎琴”（Harp of New Albion）中也利用了它的倒置形式。只有在語調和諧很少或沒有和弦的時候，才會產生出色的結果：只要有可能，聲音和其他樂器就會傾向於只是語調。然而，由於固定的調諧樂器，例如鋼琴，它提供了兩個不同的整個音調間隔（9：8和10：9），不能改變琴鍵。要按照比例給出的比例來計算音符的頻率，將頻率比乘以主音頻率。例如A4（自然高於中間C）的頻率為440赫茲，正好在它上面的第五個（E5）僅為440×（3：2）= 660赫茲。

畢達哥拉斯式的調整僅基於完美的諧音，（完美的）八度，完美的五度和完美的第四。因此，主要的三分之壹被認為不是三分之壹，而是兩個音，即（9：8）2 = 81:64，而不是直接在下面的獨立和諧音5：4 = 80:64。整個音調是二次間隔，是從兩個完美的五分之壹，（3：2）2 = 9：8。

主要的三分之壹，5：4和小三分之壹，6：5是壹個諧音的逗號，81:80，除了他們的畢達哥拉斯分別為81:64和32:27。卡爾·達爾豪斯（Carl Dahlhaus，1990，p。187）指出：“依賴的第三個符合畢達哥拉斯，是間隔諧波調整的獨立三分之壹。

西方通常的練習曲通常不能以正確的語調演奏，但需要系統性的鍛煉。這種鍛煉既可以涉及氣質的不規則性，也可以作為壹種規律的氣質，不論是某種形式的平等氣質，還是其他壹些規律性的氣質，但在任何情況下都會涉及到氣質的基本特征。例如，和弦ii的根音，如果調到主導音的五分之壹，將是主音之上的壹個主要整音（9：8）。如果調整到僅低於4：3的次三分之壹（6：5），則主音間隔等於壹個較小的整音（10：9）。 Meantone氣質減少了9：8和10：9之間的差異。他們的比例（9：8）/（10：9）= 81:80被視為壹致。時間間隔81:80，稱為Didymus的逗號或逗號，是表示氣質的關鍵逗號。

在平等的氣質中，八度在對數尺度上被分成相等的部分。雖然可以用任意數量的音符（例如，24音阿拉伯音調系統）來構造均等音階，但最常見的數字是12，它構成了等音階半音音階。在西方音樂中，除非另有規定，否則通常假定分為十二個區間。

對於半音階音階，八度音階被分成十二個相等的部分，每個半音階（half-step）是兩個第十二根音階的音階，所以這些相等的半個音階中的十二個加起來就是壹個八度音程。使用器樂器時，使用相同的音律是非常有用的，因此音品在琴弦上均勻對齊。在歐洲的音樂傳統中，琵琶和吉他音樂的平等氣質遠遠早於其他樂器，如音樂鍵盤。由於這種歷史的力量，十二音的平等氣質現在成為西方以及非西方世界的主要語調系統。

已經使用了相同的鍛煉尺度，並使用其他數量相等的間隔來建造儀器。 Guillaume Costeley在十六世紀最早提出和使用的19個同樣的氣質，使用19個等間隔的音調，提供比正常的12個半音平均氣質更好的主要三分之壹和更好的次要三分之壹，而以平坦的五分之壹為代價。整體效果是更大的壹致。平等的氣質，24等分的音調，在阿拉伯音樂的教學法和符號中廣泛流傳。然而，在理論和實踐上，阿拉伯音樂的語調符合合理的比例，而不是不平等的比例。

盡管阿拉伯語調系統完全沒有類似於四分之壹音調的模擬音調，但經常發生類似四分之三音調或中性秒音的模擬。然而，這些中立的秒數，取決於馬卡姆的比例以及地理位置略有不同。事實上，阿拉伯音樂歷史學家Habib Hassan Touma曾這樣寫道：“這個音樂步驟的偏離是阿拉伯音樂特有風格的壹個重要組成部分，通過將八度音階分成二十四個相同大小的四分之壹音調來調節音階將放棄這個音樂文化最具特色的元素之壹。“

下圖顯示了各種等回火尺度近似於三個重要的諧波識別：主要三次諧波（五次諧波），完全五次諧波（三次諧波）和“七次諧波”（七次諧波）。 [註：上面的數字表示等回火刻度（即“12”表示12次回火刻度等）]

如上所述，語調問題源於需要能夠調整諸如鋼琴或琴弦之類的弦樂器以便能夠以不同的色調演奏。到目前為止，這兩種方法都沒有壹個能夠準確地解決這個問題，從以下過程可以看出。

調整固定調音樂器的壹種方法是保持基繩的第五個範圍。這樣做就是遵循所謂的循環循環：Do，Sol，King，La，Me，Si，Do，Do，Solò，Reè，La，Fa（或Miè）註意。很容易看出，這裏所檢查的方法都不能使Do8與從循環中獲得的方法壹致：實際上，對於自然氣質和畢達哥拉斯，倍頻程的頻率都是2的冪的倍數，而在循環周期中，頻率是3/2的倍數的倍數：兩倍的冪也是3/2的冪。這個論點也適用於其他報告。

因此，看到壹個調諧器試圖保持所有正確的範圍（第三，第四，第五）的調諧器將面臨壹個不可解決的問題，應該仍然尋求妥協：這就是氣質等於什麽。

音樂集合論以壹種基本的方式使用數學集合論的語言來組織音樂對象並描述它們之間的關系。為了用音樂集理論來分析壹段（通常是無調性）音樂的結構，通常從壹組音調開始，這些音調可以形成動機或和弦。通過應用諸如移調和反轉等簡單的操作，就可以發現音樂中的深層結構。諸如換位和反轉等操作稱為等軸測（isometries），因為它們保留了壹組中音調之間的間隔。

壹些理論家通過擴展音樂集合論的方法，用抽象代數來分析音樂。例如，音調相同的八度音階組成12個元素的阿貝爾組。用壹個自由的阿貝爾組來描述正義的語調是可能的。

轉型理論是David Lewin開發的音樂理論的壹個分支。該理論考慮到了很大的壹般性，因為它強調音樂對象之間的轉換，而不是音樂對象本身。

理論家還提出了更復雜的代數概念的音樂應用。正規氣質的理論已廣泛發展與廣泛的復雜的數學，例如通過將每個正常的氣質與壹個格拉斯曼的理性點相關聯。

真正的和復雜的分析也已經被使用，例如通過將黎曼ζ函數的理論應用於八度的等分的研究中。

當代音樂數學的發展（從分析到構圖，到音樂演繹的姿態）主要是由於數學家和音樂家明尼蘇達大學的美國教授Guerino Mazzola的貢獻。

SMCM，音樂數學和計算學會每年組織關於數學和音樂研究成果的會議。