密鋪

曲面細分平面是使用壹個或多個幾何形狀的平面的平鋪，稱為密鋪（Tessellation or Tiling），沒有重疊和沒有間隙。在數學中，鑲嵌可以被推廣到更高的尺寸和各種幾何形狀。

比較等邊三角形，正方形和正六邊形的面積比。十六進制將平面與用於覆蓋表面部分的最小周邊分開。在平面幾何中，它被稱為調光（有時是傾斜或鋪地），用壹個或多個無限重復而不重疊的幾何圖形覆蓋平面。

這些幾何圖形（稱為“銷釘”）通常是多邊形，有規律或不規則，但也可以具有彎曲的邊，或者沒有頂點。通常出現的唯壹條件是它們相互連接，而非簡單連接（即它們是壹個整體，沒有孔）。

雖然這種情況可能看起來非常嚴格，但幾乎所有可能的地板都會受到尊重。它有用的原因是它允許比較不同外觀的噸。

但是，基本的平行四邊形模板並不是分類常規點的最完整的方法，知道其角度和側面的測量結果不允許我們確定地證明我們的調光的幾何特征：可能發生的情況是平行四邊形的壹部分（更準確地說是平行四邊形的壹部分）可能是可能的重建所有的裝飾（不再有唯壹的翻譯，但也使用其他的等軸測圖）。

定期的平鋪有壹個重復的模式。壹些特殊類型包括具有規則多邊形瓷磚的所有相同形狀的定期傾斜，以及具有多於壹種形狀的正規瓷磚並且每個角部布置相同的半規則傾斜。定期翻轉形成的圖案可以分為17個壁紙組。缺乏重復模式的平鋪稱為“非周期性”。非周期性瓷磚使用壹組不能形成重復圖案的瓷磚形狀。在更高維的幾何中，空間填充或蜂窩也被稱為空間鑲嵌。

路面或路面是壹個有限集合的元素（稱為瓦片（更確切地說，它們是非空的內部壓縮物））的空間（通常是像平面或三維空間的歐幾裏德空間）的分區。壹般來說，我們考慮翻譯的翻譯，也就是說，兩個相同的鋪路磚總是可以通過翻譯（不包括旋轉或對稱）互相抵扣。還有非歐幾裏德空間的鑲嵌，毫無疑問，最著名的是M.C.埃舍爾（雙曲平面的統壹曲面）。

真正的物理鑲嵌是由諸如水泥陶瓷正方形或六邊形之類的材料制成的平鋪。這種傾斜可以是裝飾圖案，或者可以具有諸如提供耐用和防水的路面，地板或墻壁覆蓋物的功能。歷史上，鑲嵌在古羅馬和伊斯蘭藝術中使用，例如阿罕布拉宮的裝飾幾何瓷磚。在二十世紀，埃舍爾先生的作品經常利用普通的歐幾裏德幾何和雙曲幾何中的鑲嵌來達到藝術效果。 Tessellations有時被用於絎縫的裝飾效果。鑲嵌形成了壹類自然界中的圖案，例如在蜂巢中發現的六邊形細胞陣列中。

蘇美爾人（大約公元前4000年左右）在建築由粘土磚形成的墻面裝飾上使用了裝飾。

裝飾馬賽克拼塊被稱為馬賽克的小方塊被廣泛應用於古代古代，有時顯示幾何圖案。

1619年，約翰內斯·開普勒（Johannes Kepler）對棋盤格進行了早期的記錄研究。他在他的Harmonices Mundi中寫下了規則和半規則的鑲嵌細節;他可能是第壹個探索和解釋蜂窩和雪花的六邊形結構。

大約在二百年後的1891年，俄羅斯晶體學家葉夫格拉夫·費奧多羅夫（Yevgraf Fyodorov）證明，每壹個定期的平面都有十七組不同的等軸測圖。費奧多羅夫的工作標誌著鑲嵌的數學研究的非官方的開始。其他著名的貢獻者包括Shubnikov和Belov（1964），Heinrich Heesch和Otto Kienzle（1963）。

在拉丁文中，tessella是壹種用於制作馬賽克的小塊立方體粘土，石頭或玻璃。 “tessella”壹詞的意思是“小方塊”（來自tessera，正方形，而方塊則來自四個希臘詞τέσσερα）。它對應於日常平鋪，這是指通常由釉面粘土制成的鑲嵌的應用。

按照壹套既定的規則，鑲嵌或鑲嵌在兩個方面是幾何學中的壹個話題，研究如何將形狀（稱為瓷磚）布置成無間隙地填充平面。這些規則可以變化。常見的是瓷磚之間不能有縫隙，壹塊瓷磚的任何角落都不能沿著另壹塊瓷磚的邊緣。粘結磚砌成的棋盤格不遵守這個規則。在這些之中，規則鑲嵌具有相同的規則拼貼和相同的規則邊角或頂點，對於每個拼貼具有相同邊緣之間相同的角度。只有三種形狀可以形成這種規則鑲嵌：等邊三角形，正方形和正六邊形。這三種形狀中的任何壹種都可以無限復制，以填補飛機的空白。

許多其他類型的細分在不同的約束條件下是可能的。例如，有八種類型的半規則鑲嵌，用多於壹種正多邊形制成，但在每個角落仍然具有相同的多邊形排列。不規則鑲嵌也可以從其他形狀，如五邊形，多邊形，實際上幾乎任何形狀的幾何形狀。藝術家M.C.埃舍爾（M.C.Escher）以制作鑲嵌不規則的瓦片而出名，形狀像動物和其他自然物體。如果為不同形狀的瓷磚選擇適合的對比色，則形成醒目的圖案，並且這些可用於裝飾教堂地板等物理表面。

更正式地說，鑲嵌或拼貼是歐幾裏得平面上的壹個可數的封閉集合（稱為平鋪）的覆蓋，以使得平鋪僅在其邊界上相交。這些瓦片可以是多邊形或任何其他形狀。許多曲面細分由有限數量的原型構成，其中曲面細分中的所有圖塊與給定的原型圖壹致。如果可以使用幾何形狀作為原型來創建曲面細分，則稱該形狀為曲面細分或平鋪平面。康威標準是壹個足夠的但並非必要的規則來決定是否壹個給定的形狀定期瓷磚平面沒有反射：壹些瓷磚不符合標準，但仍然平鋪平面。沒有找到壹個通用的規則來確定壹個給定的形狀是否可以平鋪飛機，這意味著有關鑲嵌的許多未解決的問題。

各個最小的設計具有相同的形狀
必須應用於最小設計以獲得兩個銷釘中的每壹個的轉換是相同的
例如，在側面的圖像中，我們看到壹個帶有基本平行四邊形（壹個正方形）和最小設計（三角形矩形）的點。點可以通過平移方塊來獲得，也可以通過平移和反射唯壹的三角形矩形來獲得。相反，沒有可以重新創建所有流蘇的三角形的較小部分。

事實證明，定期加倍類正好是17個。為了對任何加倍進行編目，只需從最小設計中知道生成它所需的轉換就足夠了，如下表所示：

抽象藝術和建築中的點綴壹直是美學，

在數學上，鑲嵌可以擴展到除歐幾裏得平面以外的空間。瑞士幾何學家路德維希·施拉夫利（LudwigSchläfli）通過定義多晶型物（polyschemes）開創了這壹領域，現在數學家稱之為多晶型物。這些是與更多維度的空間類似的多邊形和多面體。他進壹步定義了Schläfli符號表示法，以便於描述多面體。例如，等邊三角形的Schläfli符號是{3}，而正方形的符號是{4}。 Schläfli符號使得可以緊湊地描述翻轉。例如，正六邊形的平鋪在每個頂點有三個六邊形的多邊形，所以它的Schläfli符號是{6,3}。

還有其他的方法來描述多邊形的翻轉。當鑲嵌細分為正多邊形時，最常用的表示法是頂點配置，它只是壹個頂點周圍多邊形邊數的列表。方形平鋪具有4.4.4.4或44的頂點配置。正六邊形的平鋪標記為6.6.6或6。

在數學中：
數學家在討論分段時使用壹些技術術語。邊緣是兩個邊界瓦片之間的交點;它通常是壹條直線。頂點是三個或更多邊界瓦片的交點。使用這些術語，正交或頂點傳遞平鋪是每個頂點相同的平鋪;也就是說，關於每個頂點的多邊形排列是相同的。基本區域是重復形成曲面細分的諸如矩形之類的形狀。例如，正方形的平面棋盤格在每個頂點都有四個正方形的會議。

多邊形的邊不壹定與瓷磚的邊緣相同。邊對邊拼貼是任何多邊形鑲嵌，其中相鄰拼貼僅共享壹個完整邊，即，不與任何其他拼貼共享部分邊或多於壹邊。在邊緣到邊緣的平鋪中，多邊形的邊和地磚的邊緣是相同的。熟悉的“磚墻”瓷磚不是邊對邊的，因為每個矩形磚的長邊與兩塊邊墻磚共享。

正常的平鋪是每個瓦片在拓撲上等同於盤的曲面細分，任何兩個瓦片的交集是單個連接集合或空集合，並且所有瓦片是統壹有界的。這意味著整個瓦片中的所有瓦片可以使用單個外接半徑和單個內接半徑;該條件不允許病理性長或薄的瓦片。

單面平鋪是所有平鋪全等的曲面細分;它只有壹個prototile。壹種特別有趣的單面鑲嵌的類型是螺旋單面拼貼。第壹個螺旋單面瓷磚是1936年由亨氏·沃德伯格（Heinz Voderberg）發現的。 Voderberg瓷磚有壹個單位瓦片是非凸九宮格。 Hirschhorn瓷磚由Michael D. Hirschhorn和DC Hunt於1985年出版，是壹種五邊形瓷磚，用不規則五邊形：正五邊形不能平鋪歐幾裏德平面，因為正五邊形的內角3π/ 5不是2π的除數。

等瓦拼貼是單面拼貼的壹種特殊變體，其中所有拼貼屬於相同的傳遞類別，即所有拼貼是在平鋪的對稱組下面的相同原型的變換。如果壹個原始細胞承認了壹個平鋪，但是沒有這樣的平鋪是等面的，那麽這個原始細胞被稱為各向異性的並形成各向異性的平面。

規則鑲嵌是壹個高度對稱的邊緣到邊緣的平鋪，由規則的多邊形組成，形狀完全相同。只有三個規則鑲嵌：由等邊三角形，正方形或正六邊形組成。所有這三個傾斜是正交和單面。

壹些非周期性的分段比其他分段更少...換句話說，非周期性的程度可以量化。

這樣，我們可以舉出例如復發和均勻復發（或準周期性）的概念。

如果當壹個圖案（有限的壹組圖片）出現壹次，則它出現在任何足夠大的區域中。而且，如果可以根據圖案的大小來確定這個區域的大小，那麽鋪路就是統壹的反復（或準周期的）。

因此，如果我們考慮任何出現在平鋪上的半徑為r的圓上的圖案，那麽存在壹個數R，這樣我們就可以確信這個圖案再現在半徑R在路面上描繪。

特別是，周期性的投擲是壹致的（反復發生）。彭羅斯鋪地的情況也是如此。事實上，可以看出，如果壹組瓦片鋪平了平面，那麽它也可以以均勻循環的方式鋪平它（證明基於對角參數）。

半正則（或阿基米德）曲面細分使用正交排列中的多於壹種類型的正多邊形。有八個半規則的翻轉（如果鏡像對的翻轉為兩個，則翻轉九個）。這些可以通過它們的頂點配置來描述;例如，使用正方形和正八邊形的半規則平鋪具有頂點配置4.82（每個頂點具有壹個正方形和兩個八邊形）。歐幾裏德平面的許多非邊緣到邊緣的傾斜是可能的，包括畢達哥拉斯（Pythagorean）平面的家族，使用兩個（參數化的）正方形尺寸的方格，每個正方形接觸另壹個尺寸的四個正方形。邊鑲嵌是其中每個瓦片可以在邊緣上反射以占據相鄰瓦片的位置的邊界鑲嵌，例如在等邊或等腰三角形的陣列中。

在兩個獨立方向上具有平移對稱性的傾斜可以被壁紙組分類，其中存在17個壁紙組。據稱，這些團體中的所有十七人都代表西班牙格拉納達的阿罕布拉宮。雖然這是有爭議的，但是阿罕布拉分裂的多樣性和復雜性讓現代研究人員感到驚訝。在三個常規的平鋪中，兩個在p6m壁紙組中，壹個在p4m中。二維平面上只有壹個方向平移對稱的頂點可以由描述可能的楣狀圖案的七個楣板組分類。 Orbifold符號可以用來描述歐幾裏德平面的壁紙組。

使用兩個不同的四邊形的彭羅斯拼圖是強制創建非周期性圖案的瓷磚的最有名的例子。它們屬於非周期性的壹般類別，它們使用不能周期性鑲嵌的瓷磚。替代拼貼的遞歸過程是產生非周期性拼圖的壹種方法。壹個可以用這種方式生成的類是rep-tiles;這些掀動具有令人驚訝的自我復制的特性。風車翻轉是非周期性的，使用rep-tile結構;瓷磚出現在無數的方向。可以認為非周期性模式完全沒有對稱性，但事實並非如此。非周期性傾斜雖然缺乏平移對稱性，但卻有其他類型的對稱性，無限重復了任何有界的平鋪片，以及某些有限組的旋轉或反射片。替代規則（例如可用於使用稱為rhombs的拼貼組合來生成壹些彭羅斯模式）說明縮放對稱性。壹個斐波納契單詞可以用來建立壹個非周期性的平鋪，並研究準晶體，這是非周期性的結構。

Wang瓷磚在每個邊緣上都是正方形的，並且放置成使得相鄰瓷磚的鄰接邊緣具有相同的顏色;因此他們有時被稱為王牌多米諾骨牌。壹套合適的王牌多米諾骨牌可以平鋪飛機，但只能是不定期的。這是眾所周知的，因為任何圖靈機都可以表示為壹套王牌多米諾骨牌，只要圖靈機不停止就能平鋪飛機。由於暫停問題是不可判定的，所以決定王牌多米諾骨牌是否可以平鋪飛機的問題也是不可判定的。

Truchet瓷磚是用方式裝飾的方形的瓦片，因此他們沒有旋轉對稱;在1704年，塞巴斯蒂安·特魯謝（SébastienTruchet）用壹塊方形瓷磚分成兩個對比色的三角形。這些可以定期或隨機平鋪飛機。

有時瓦片的顏色被理解為瓦片的壹部分;在其他時候可以隨後應用任意顏色。在討論以顏色顯示的平鋪時，為了避免模棱兩可，需要指定顏色是平鋪的壹部分還是僅僅是其示例的壹部分。這會影響具有相同形狀但不同顏色的瓦片是否被認為是相同的，這又會影響對稱性問題。四色定理指出，對於正常歐幾裏德平面的每壹個細分，具有四種可用顏色的集合，每個瓷磚可以被著色成壹種顏色，使得沒有相同顏色的瓷磚在正長度的曲線上相遇。由四色定理所保證的著色通常不考慮曲面細分的對稱性。為了產生壹種顏色，有必要將顏色作為棋盤格的壹部分進行處理。在這裏，可能需要多達七種顏色，如右圖所示。

除了通過正多邊形的各種俯仰之外，還研究了其他多邊形的俯仰。

任何三角形或四邊形（甚至是非凸形）都可以用作原型來形成單面鑲嵌，通常以多種方式。任意四邊形的副本可以形成具有平移對稱性和2倍旋轉對稱性的棋盤格，其中心位於所有邊的中點。對於不對稱的四邊形，這塊瓷磚屬於壁紙組p2。作為基本的領域，我們有四邊形。等同地，我們可以從壹個旋轉中心開始構建壹個平行四邊形，它由壹組最​​小的平移向量組成。我們可以把它分成壹個對角線，取壹半（三角形）作為基本的域。這樣的三角形面積與四邊形相同，可以通過切割和粘貼來構建。

如果允許只有壹種形狀的瓦片，那麽對於N等於3,4,5和6，存在具有凸N形狀的分段。對於N = 5，見五角形瓦片，對於N = 6，見六角形瓦片。

有關使用多米諾黴素平鋪平面的結果，請參見Polyomino§多米諾骨牌的用途。

Voronoi或Dirichlet分段是曲面細分，其中每個分塊被定義為最接近離散定義點集中的壹個點的壹組點。 （將每個區域定義為最接近給定城市或郵局的所有點的地理區域。）每個定義點的Voronoi單元格是壹個凸多邊形。 Delaunay三角剖分是Voronoi鑲嵌的對偶圖。 Delaunay三角剖分在數值模擬中非常有用，部分原因是Delaunay三角剖分在定義點的所有可能的三角剖分中最大化由邊緣形成的角度的最小值。用隨機放置的點的Voronoi可以用來構造平面的隨機俯仰。

鑲嵌可以擴展到三個維度。某些多面體可以以規則的晶體圖案堆疊以填充（或拼貼）三維空間，包括立方體（唯壹的柏拉圖多面體這樣做），菱形十二面體，截頂八面體以及三角形，四邊形和六角形棱鏡等等。符合這個標準的任何多面體都被稱為平面體（plesiohedron），並且可以擁有4到38個面。自然發生的菱形十二面體被發現是壹種石榴石（壹種石榴石）和螢石的晶體。

施瓦茨三角形是壹個球形三角形，可用於平鋪球體。

三維或更多維度的曲面被稱為蜂窩。在三維中只有壹個規則的蜂窩，每個多面體頂點有八個立方體。同樣，在三維中只有壹個準蜂窩狀的蜂窩，每個多面體頂點有八個四面體和六個八面體。但是，在三維中有許多可能的半規則蜂窩。均勻的多面體可以使用Wythoff結構來構建。

施米特 - 康韋雙棱鏡是壹種凸多面體，具有不平整空間的特性。

有可能在非歐幾裏德幾何中進行曲面細分，如雙曲幾何。雙曲平面（可以是規則的，準曲面的或半規則的）中的均勻平鋪是雙曲平面的邊到邊填充，正多邊形作為面;這些是頂點傳遞（在其頂點傳遞），isogonal（有壹個等角映射任何其他頂點）。

雙曲空間中的均勻蜂窩是均勻多面體單元的均勻鑲嵌。在三維雙曲空間中，有九個Coxeter族緊致凸均勻蜂窩，由Wythoff構造產生，並由每個家族的Coxeter圖的環排列表示。

在建築：
在建築方面，自古以來，鑲嵌被用來制作裝飾圖案。馬賽克拼圖往往有幾何圖案。後來的文明也使用較大的瓷磚，無論是平原或個別裝飾。壹些最具裝飾性的是伊斯蘭建築的摩爾式墻壁，在阿罕布拉和La Mezquita等建築中使用Girih和Zellige瓷磚。

揉在伊斯坦布爾考古博物館：地板也被稱為鋪面並非巧合：事實上，每壹個可能的方式來覆蓋形狀瓷磚日期的地板只不過是壹個流蘇。這就是為什麽瓷磚必須存在於歷史上的大部分建築物中。特別是，有色的銷釘往往被視為活躍地板或墻壁的手段。

著名的流蘇覆蓋了格拉納達阿罕布拉宮（Alhambra complex）的許多墻壁，這是阿拉伯藝術的成果和新生王朝的品味：阿拉伯人壹直都是數學和幾何學的偉大學者，這些知識也滲透到他們的藝術中，以至於阿拉伯風格仍然常用來表示幾何裝飾圖案。

在藝術：
荷蘭藝術家Maurits Cornelis Escher的大部分作品都是流蘇，其點點通常是魚，鳥，馬，蝙蝠，還有擬人化的人物。埃舍爾不僅對實際上與他想要表現的動物類似的匕首的實現，而且對數學研究和點綴的編目投入了很多的註意，並將他與當時的數學家進行了比較。

從他的數學角度來看，他最大膽的作品可能就是那些他不是在壹個普通的歐幾裏德（Euclidean）平面上，而是在非歐幾裏德（Euclidean）幾何上排列的點。雖然這些不是正式點綴的（因為銷釘不僅是重復的，而且是縮放的），基本的幾何推理是相同的，適應於所選擇的非歐幾裏德幾何模型。例如，在著名的Circle Limit系列中，您可以識別HenriPoincaré研究的雙曲線方案的假設。

“變形”系列也是值得註意的，在這個系列中，埃舍爾將長條不同的調光連接起來，與其他幾何或手繪圖案交替，從而也給出了這樣壹個想法，即銷釘底部的簡單幾何規則在任何地方都存在，自然本身。

Tesler經常出現在M. C. Escher的圖形藝術中;他在1936年訪問西班牙時，受到阿爾罕布拉宮等摩爾人對稱的啟發。埃舍爾制作了四條使用雙曲線幾何的“圓形極限”圖形。為了他的木刻“圓圈限制IV”（1960年），埃舍爾準備了壹個鉛筆和墨水研究顯示所需的幾何形狀。埃舍爾解釋說：“沒有任何壹個系列的組成部分，從無限遠處如同火箭垂直上升到終點，並最終在火焰中消失，永遠到達邊界線。

鑲嵌圖案的設計通常出現在紡織品上，無論是編織，縫合還是印刷。鑲嵌圖案已被用於設計棉被中斑塊形狀的互鎖圖案。

鑲嵌也是折紙（紙折疊）的主要類型，其中折疊用於以重復的方式將諸如扭曲褶皺的分子連接在壹起。

在制造業：
在制造業中使用曲面細分（tessellation）以減少在切割汽車門或飲料罐之類物體的形狀時諸如金屬板之類的材料浪費（產量損失）。

Tessellation在薄膜的類似龜裂的開裂中顯而易見 - 使用微觀和納米技術觀察到壹定程度的自組織。

在自然界：
蜂窩提供了壹個眾所周知的自然鑲嵌六角形細胞的例子。

在植物學中，術語“棋盤格”描述了方格圖案，例如在花瓣，樹皮或果實上。包括貝母和壹些秋水仙屬物種在內的花朵具有鑲嵌特征。

自然界中的許多圖案是由材料片中的裂縫形成的。這些模式可以用吉爾伯特鑲嵌來描述，也被稱為隨機裂紋網絡。吉爾伯特鑲嵌是壹種形成泥裂，針狀晶體和類似結構的數學模型。這個以埃德加·吉爾伯特（Edgar Gilbert）命名的模型允許從飛機上的隨機散射開始形成裂縫;每個裂縫沿著通過起始點的壹條直線在兩個相反的方向上傳播，隨機選擇它的斜率，形成不規則凸多邊形的曲面細分。由於熔巖冷卻時收縮力引起裂縫，玄武質的熔巖流經常顯示出柱狀連接。廣泛的裂縫網絡，往往產生六角形的熔巖柱。北愛爾蘭的巨人堤道就是這樣壹列柱子的壹個例子。在塔斯曼尼亞塔斯曼半島的鷹頭頸部發現了壹個特征性的棋盤格路面，這是壹個罕見的沈積巖層，巖石已經裂成了長方形的塊。

泡沫中還會出現其他天然圖案;這些都是根據高原的法律，這需要最小的表面包裝。這樣的泡沫在如何盡可能緊密地包裝細胞方面存在問題：1887年，開爾文勛爵提出了僅使用壹種固體的包裝，具有非常略微彎曲的面的截頭立方體蜂窩。 1993年，Denis Weaire和Robert Phelan提出了Weaire-Phelan結構，它使用較少的表面積來分離等於Kelvin泡沫體積的泡孔。

在謎題和娛樂數學：
Tessellations引起了許多類型的拼圖拼圖，從傳統的拼圖（不規則的木塊或紙板）和七巧板到更現代的拼圖，這些拼圖經常有數學基礎。例如，聚金剛石和多米諾骨牌是常規三角形和正方形的圖形，通常用於拼圖謎題中。亨利·杜德尼（Henry Dudeney）和馬丁·加德納（Martin Gardner）等作者在娛樂性數學中已經使用了鑲嵌細分方法。例如，杜德尼發明了鉸鏈解剖，而加德納寫了關於這個復制瓦片的形狀，這個形狀可以分解成相同形狀的較小副本。在科學美國人的加德納文章的鼓舞下，業余數學家馬喬裏·賴斯（Marjorie Rice）發現了四個五邊形的新鑲嵌曲面。對平方進行平方化是壹個整數平方（只有壹個整數長度的平方）的平鋪問題，只使用其他積分平方。壹個擴展是平面的平面，平鋪它的大小都是自然數不重復，詹姆斯和弗雷德裏克·亨勒證明這是可能的。