數學和藝術

數學和藝術有很多相關的方面。數學本身被形容為壹種被美麗激發的藝術。數學可以從音樂，舞蹈，繪畫，建築，雕塑，紡織等藝術中辨識出來。然而，本文側重於視覺藝術中的數學。

柏拉圖把美和真理比喻成藝術和數學。這個問題的前提經常召喚黃金的數量。 Phi是通過在文藝復興時期藝術中反復出現在雕塑和繪畫作品中而與藝術最相關的數學常量。為了獲得滿足觀察者口味的諧波比例，黃金比例被認為是規則。如果希望了解數學在藝術史和當代審美革命中的作用，這種範式是偏頗的。質疑創造性協議，結構和形態發生是更有效的。因此，有必要拋棄柏拉圖式的前提，而是傾向於關於它們出現和被感知的形式和方式的問題。藝術和數學在數學家和藝術家相互支持的興趣方面產生了許多融合的軸線，而且圍繞著使用和過程。許多當代審美項目來自或多或少明顯的數學實踐，但他們都見證了數學文化的驚人程度。從美和諧的問題到形態或結構的問題，數學提供了許多工具來調查現實的復雜性，它的表征，還有發現結構，形狀和形式的能力。流程。

數學和藝術有著悠久的歷史關系。自從公元前4世紀以來，藝術家們壹直在使用數學，當時希臘雕塑家Polykleitos寫下了他的佳能（Canon），並以比例1：√2為理想男性裸體規定了比例。在古代藝術和建築中使用黃金比例的說法壹直流行，沒有可靠的證據。在意大利文藝復興時期，盧卡·帕西奧利（Luca Pacioli）用達芬奇（Leonardo da Vinci）的木版畫（woodcut）描繪了具有影響力的論文“魔術比例”（De Divina Proportione，1509）另壹位意大利畫家皮耶羅•德拉•弗朗西斯卡（Piero della Francesca）則在“德普羅普蒂蒂瓦•皮金根”（De Prospectiva Pingendi）等作品及其繪畫作品中發展了歐幾裏德的觀點。雕刻師AlbrechtDürer在他的作品“Melencolia I”中提到了很多數學參考。在現代，圖形藝術家MC Escher在數學家HSM Coxeter的幫助下，對曲面細分和雙曲線幾何進行了大量使用，而Theo領導的De Stijl運動van Doesberg和Piet Mondrian明確地擁抱了幾何形式。數學激發了絎縫，針織，十字繡，鉤針編織，刺繡，編織，土耳其和其他地毯制作以及千米等紡織藝術。在伊斯蘭藝術中，對稱的形式多種多樣，如波斯吉利和摩洛哥zellige瓷磚，莫臥兒jaali穿透石頭屏幕和廣泛muqarnas跳馬。

弗朗索瓦·莫雷萊（François Morellet）在他的作品中不斷受到數學和幾何學的啟發。他的引用：弗朗索瓦·莫雷萊的作品是按照壹個系統來執行的：每壹個選擇都是由事先確定的壹個原則來定義的。他想給人留下壹個機會的壹部分控制藝術創作的印象，這給了壹個不可預知的畫面。他使用簡單的形式，少量的純色和基本構圖（並置，疊加，機會，幹涉，碎片）。因此，他創造了他的第壹個“框架”，黑色平行線的網絡以確定的順序疊加，覆蓋了整個畫面。這些系統讓人聯想到Oulipo（Luvroir deLittératurePotentielle）提出的結構，由Raymond Queneau描述：“我們工作的目的是什麽？為作家提供新的“結構”，數學性質，甚至發明新的人造或機械過程，促進文學活動“。隨後，弗朗索瓦·莫雷萊將繼續使用基於數學宇宙的系統。

在十九世紀，高斯，黎曼Lobatechevsky的著作和普及空間尺寸和幾何形狀異乎尋常的想法。愛因斯坦相對論開發公開發行的理論培育新的觀察示例建立壹些藝術家抓緊找表示的其他方式，時空的想法是肥沃和年輕布拉克和畢加索聽到壹個不再是歐幾裏得但是球形或雙曲線的空間。這將導致想象力和提供的描述權的新模式之壹將在裸體下馬塞爾·杜尚的樓梯和開創性的作品布拉克和畢加索找到二十的第壹個十年實現了平底船Lavoir分析立體主義世紀。空間的這種設計將在二十世紀的“DEMOISELLES德阿維尼翁”體現在藝術史的基礎性工作。

數學直接影響了藝術與概念工具，如線性透視，對稱性的分析和數學對象，如多面體和莫比烏斯帶。馬格努斯·文寧格創造了多彩的星狀多面體，最初是作為教學的模型。數學概念，如遞歸和邏輯悖論，可以在Rene Magritte的繪畫和M. C. Escher的雕刻中看到。計算機藝術通常利用包括Mandelbrot集合在內的分形，有時還會探索其他數學對象，如元胞自動機。有爭議的是，藝術家大衛·霍克尼（David Hockney）認為，文藝復興時期以前的藝術家利用照相機做了精確的場景表現，建築師菲利普·斯泰德曼（Philip Steadman）也同樣認為，維米爾（Vermeer）在他獨特的觀察畫作中使用了暗箱。

其他關系包括X射線熒光光譜法對藝術作品的算法分析，發現來自爪哇不同地區的傳統蠟染有不同的分形維度，並對數學研究尤其是菲利波·布魯內萊斯基的視角理論產生了刺激，最終導致了吉拉德·德薩格斯的投影幾何。最終根據畢達哥拉斯（Pythagorean）音樂中的和聲理念的壹貫觀點認為，壹切都是由數字來安排的，即上帝是世界的幾何形狀，因此世界的幾何形狀是神聖的，正如在威廉·布萊克古代的日子。

數學和藝術的歷史：
長老Polykleitos（公元前450 - 420年）是Argos學派的希臘雕塑家，同時代是Phidias。他的作品和雕像主要由青銅器和運動員組成。根據哲學家和數學家Xenocrates的說法，Polykleitos因為他在Argos Heraion的Doryphorus和Hera雕像的工作而被列為古典古代最重要的雕塑家之壹。雖然他的雕塑可能不如菲迪亞斯那些有名的雕塑，但他們很受贊賞。在Polykleitos的佳能，他寫的專著是為了記錄男性裸體的“完美”解剖比例，Polykleitos給我們壹個雕塑人體的數學方法。

Polykleitos使用小指的遠端指骨作為確定人體比例的基本模塊。 Polykleitos將遠節指骨的長度乘以2的平方根（√2）以獲得第二節指骨的距離並將長度再乘以√2以獲得第三節指骨的長度。接下來，他將手指長度乘以√2，以獲得從手指根部到尺骨的手掌長度。這幾何測量系列進展，直到Polykleitos形成了手臂，胸部，身體等。

古典希臘，羅馬和文藝復興時期的雕塑，Polykleitos的佳能的影響是巨大的，許多雕塑家遵循Polykleitos的處方。雖然Polykleitos的原創作品沒有壹個能夠存活下來，但是羅馬的版本卻展示了他完美的理想和數學精確的理想。壹些學者認為畢達哥拉斯思想影響了Polykleitos的佳能。佳能運用了希臘幾何的基本數學概念，如比例，比例和對稱（希臘語為“和諧比例”），並將其轉化為壹個能夠通過壹系列連續的幾何進程來描述人類形態的系統。

在古典時期，畫家根據自己的主題重要性，而不是用線性的角度來制作較小的人物。在中世紀，壹些藝術家使用反向視角來特別強調。穆罕默德數學家Alhazen（Ibn al-Haytham）在1021年的“光學論”中描述了光學理論，但從未將其應用於藝術。文藝復興看到古典希臘和羅馬文化和思想的復興，其中的數學研究，以了解自然和藝術。兩大動機驅使中世紀後期的藝術家和文藝復興走向數學。首先，畫家需要弄清楚如何在二維畫布上描繪三維場景。其次，哲學家和藝術家都相信數學是物質世界的真正本質，包括藝術在內的整個宇宙都可以用幾何學來解釋。

Giotto（1266/7 - 1337）的觀點初見端正，他試圖用代數方法來確定遙遠線的位置。 1415年，意大利建築師菲利波·布魯內萊斯基（Filippo Brunelleschi）和他的朋友萊昂·巴蒂斯塔·阿爾伯蒂（Leon Battista Alberti）展示了佛羅倫薩應用透視的幾何方法，使用歐幾裏得制定的相似三角形來尋找遠處物體的高度。布魯內萊斯基的自己的透視畫失去了，但馬薩喬的三位壹體的畫顯示了他的工作原則。

意大利畫家保羅·尤切洛（Paolo Uccello，1397-1475）對他的作品“聖羅馬之戰”（約1435-1460年）的作品表現出了濃厚的興趣：破損的長矛沿著透視線方便地躺著。

畫家皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca，1415-1492年）舉例說明了意大利文藝復興時期思想的新轉變。他是壹位專家數學家和幾何學家，撰寫有關堅實的幾何學和視角的書籍，包括德比Prosgendti Pingendi（繪畫透視圖），Trattato d'Abaco（Abacus Treatise）和De corporibus regularibus（On Regular Solids）。歷史學家瓦薩裏（Vasari）在他的“畫家的生活”（Pieters of the Painters）中稱皮耶羅是“他那個時代的最偉大的幾何學家，或者是任何時候。皮耶羅對透視的興趣可以從他的繪畫中看出來，包括佩魯賈的Polyptych，聖阿戈斯蒂諾的祭壇作品和基督的鞭策。他關於幾何學的研究影響了後來的數學家和藝術家，包括他的De Divina Proportione和達芬奇的Luca Pacioli。皮耶羅研究古典數學和阿基米德的作品。他在“珠算學校”教過商業算術;他的著作被形容為算盤學校教科書，也許包括萊昂納多·皮薩諾（斐波納契）的1202 Liber Abaci。線性視角正在被引入藝術世界。阿爾貝蒂在他1435年的“德意誌帝國”中解釋說：“光線從觀察場景中的點直線傳播到眼睛，形成壹種以眼睛為頂點的金字塔。用線性透視構建的繪畫是該金字塔的橫截面。

在德普羅佩斯蒂瓦·皮根德裏，皮耶羅將他對數字方面的觀點進行了經驗觀察，並將其轉化為數學證明。他的論文從歐幾裏德的觀點開始：他將這壹觀點定義為“眼睛可能理解的最微小的東西”。他使用演繹邏輯來引導讀者對立體的視角表現。

藝術家大衛·霍克尼（David Hockney）在他的著作“秘密知識：重新發現古代大師的失落技巧”中指出，藝術家們開始使用1420年代的照相機，導致精確性和現實主義的突然變化，包括主要藝術家安格爾，範艾克和卡拉瓦喬。批評者對霍克尼是否正確持不同意見。同樣，建築師菲利普·斯泰德曼（Philip Steadman）爭議地爭辯說，維米爾曾經使用過壹種不同的設備 - 暗箱，來幫助他創作出他獨特的觀察畫作。

1509年，Luca Pacioli（約1447 - 1517年）在數學和藝術比例上發表了德比納比例，包括人臉。列奧納多·達·芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）在十九世紀九十年代在太平洋造船廠研究的時候，說明了有規律固體木刻的文字。萊昂納多的繪畫可能是骨骼固體的第壹個例證。這些，如菱形八面體，是第壹個被提出來展示透視的重疊在壹起。這部作品討論了皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca），佛洛裏（Melozzo daForlì）和馬可·帕爾梅紮諾（Marco Palmezzano）的作品。達芬奇研究了太平洋島國的薩姆瑪，他從中抄錄了比例表。在“蒙娜麗莎”和“最後的晚餐”中，達芬奇的作品將線性透視與消失點相結合，以提供明顯的深度。最後的晚餐以12：6：4：3的比例構成，拉斐爾的雅典學派也是如此，其中包括畢達哥拉斯（Pythagoras）的理想比例，是畢達哥拉斯神聖的。萊昂納多在“維特魯威人”中表達了羅馬建築師維特魯威（Vitruvius）的思想，創造性地將這位男性人物展示了兩次，並將他圍繞在壹個圓形和壹個方形中。

早在15世紀，曲線透視就成了藝術家們對圖像扭曲感興趣的藝術家的作品。簡·凡·艾克（Jan van Eyck）的1434年的“阿諾菲尼肖像”（Arnolfini Portrait）包含了壹面帶有鏡頭中人物反射的凸面鏡，而巴爾米吉尼諾（Parmigianino）的凸鏡“自畫像”（c。 1523年至1524年，顯示藝術家在中心基本上沒有扭曲的面孔，強烈彎曲的背景和藝術家的手在邊緣。

三維空間可以在藝術中有說服力地表現出來，就像在技術圖紙中那樣，通過透視以外的手段來表現。 （包括騎士角度（法國軍事藝術家用來描繪十八世紀的防禦工事））的傾斜投影，被壹直到二十世紀的中國藝術家不斷地和無處不在地使用。中國人從印度獲得這種技術，從古羅馬獲得這種技術。在日本的藝術中可以看到傾斜投影，例如在Torii Kiyonaga（1752-1815）的浮世繪畫中。

Euclid知道黃金比例（大約等於1.618）。埃及，希臘和其他地方的古代人在藝術和建築中使用的黃金比例在近代壹直被認為沒有可靠的證據。這種說法可能來自混淆“中庸之道”，這對古希臘人來說意味著“避免雙方過度”，而不是壹個比例。自十九世紀以來，金字塔學家們就金字塔設計中的黃金比例提出了可疑的數學依據。雅典公元前5世紀的帕臺農神廟，曾經聲稱在其立面和平面圖中使用了黃金比例，但這些說法也被測量所否定。突尼斯的凱魯萬大清真寺同樣聲稱在其設計中使用了黃金比例，但這個比例並沒有出現在清真寺的原始部分。建築史學家Frederik Macody Lund在1919年認為，沙特爾大教堂（12世紀），拉昂聖母院（1157年至1205年）和巴黎聖母院（1160年）是根據黃金比例設計的，使他的情況。其他學者認為，直到1509年太平洋島國的工作，黃金比例是藝術家和建築師不知道。例如，拉昂的巴黎聖母院前面的高度和寬度的比例是8/5或1.6，而不是1.618。這樣的斐波那契比率很快就難以與黃金比例區分開來。在Pacioli之後，黃金比例在萊昂納多的“蒙娜麗莎”等作品中更為明顯。

另壹個比例，唯壹的其他形態數字，在1928年被荷蘭建築師漢斯·範德蘭（最初名為法國的勒布朗勃朗德）命名為塑料編號。它的值是三次方程的解

平面對稱已經在地毯，格子，紡織品和平鋪等藝術品中被利用了數千年。

許多傳統的地毯，無論是地毯地毯還是扁平地毯，都被劃分為中心地帶和邊框地帶;兩者都可以具有對稱性，盡管在手工編織的地毯中，這些細節通常由織物的細節，花樣的變化和顏色的變化稍微破碎。從安納托利亞千裏，所使用的圖案本身通常是對稱的。總體布局通常也存在，如條紋，條紋與圖案排列交替，以及大致六邊形圖案的排列陣列。該領域通常作為具有諸如pmm的壁紙組的壁紙布置，而邊框可以作為楣組pm11，pmm2或pma2的楣帶布置。土耳其和中亞地區的麒麟族常常有三個或更多的邊界在不同的楣組中。編織者當然有對稱的意圖，沒有明確的數學知識。數學家和建築理論家Nikos Salingaros認為，像“17世紀最好的科尼亞兩枚大獎章地毯”這樣的“偉大地毯”的“強大存在”（美學效果）是由與建築師克裏斯托弗亞歷山大。這些技巧包括制造對立的情侶;相反的顏色值;通過幾何形狀區分區域，無論是通過使用互補形狀還是平衡銳角的方向性;提供小規模的復雜性（從結點向上）以及小規模和大規模的對稱;在不同尺度的層級上重復元素（從每個級別到下壹級別的比例約為2.7）。 Salingaros認為，“所有成功的地毯至少滿足上述十條規則中的九條”，並建議可以從這些規則中創建壹個度量標準。

精致的格子被發現在印度Jaali的工作，雕刻在大理石裝飾墳墓和宮殿。在17個壁紙組中，14個總是存在壹些對稱性的中國網格;他們往往有鏡子，雙鏡，或旋轉對稱。有的有中央大獎章，有的在楣組中有邊框。 Daniel S. Dye在數學上分析了許多中國的晶格;他把四川確定為工藝的中心。

紡織品中的對稱性很突出，包括絎縫，針織，十字繡，鉤針編織，刺繡和編織等，它們可能純粹是裝飾性的，也可能是地位的標誌。旋轉對稱被發現在圓形結構，如圓頂;在伊斯法罕的謝赫·洛芙拉赫清真寺（Sheikh Lotfollah Mosque）1619處，內部和外部都有精美的對稱圖案。刺繡和花邊工作的項目，如桌布和桌墊，使用線軸或梭織制成，可以有多種反射和旋轉對稱，正在數學探索。

伊斯蘭藝術在許多藝術形式中利用了對稱性，特別是在吉列舞曲中。這些是使用壹組五個瓦形狀，即正常的十邊形，細長的六角形，領結，菱形和正五邊形。這些瓷磚的所有邊都有相同的長度;所有角度都是36°（π/ 5弧度）的倍數，提供五倍和十倍的對稱性。瓷磚裝飾有條紋（girih），通常比瓷磚邊界更可見。 2007年，物理學家彼得·魯（Peter Lu）和保羅·斯坦哈特（Paul Steinhardt）認為，吉裏耶類似於準彭羅斯（Penrose）準撇子。精美的幾何zellige瓷磚是摩洛哥建築中的壹個獨特元素。 Muqarnas金庫是三維的，但二維設計的幾何單元圖紙。

柏拉圖的固體和其他多面體是西方藝術中反復出現的主題。例如，在威尼斯聖馬可大教堂的地板上，有壹塊大理石馬賽克，鑲有​​十二個十二面體的大理石鑲嵌在Paolo Uccello，在列奧納多·達·芬奇（Leonardo da Vinci）的正規多面體的圖表中，作為盧卡·帕西奧利（Luca Pacioli）的1509本書“神聖比例”作為壹個玻璃菱形八面體在雅格布·巴巴裏的畫像的太陽神廟，繪於1495年;在AlbrechtDürer雕刻的Melencolia I中的截斷多面體（以及各種其他數學對象）中;在薩爾瓦多·達利的繪畫“最後的晚餐”中，基督和他的門徒被描繪成壹個巨大的十二面體。

阿爾布雷希特·丟勒（AlbrechtDürer，1471-1528）是德國文藝復興時期的版畫家，他在1525年的“測量學教育”壹書中對多面體文學作出了重要貢獻，旨在教授線性透視，建築幾何學，柏拉圖固體和正多邊形。丟勒可能受到盧卡·帕西奧利和皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡在意大利訪問期間的作品的影響。盡管在“混噸之子”中的觀點的例子是不完善的，並且不準確，但是對多面體進行了詳細的討論。丟勒也是第壹個在文中介紹多面網的想法，多面體展開平躺印刷。丟勒在1528年出版了另壹本有關人類比例的有影響力的著作“人類比例四冊”（VierBüchervon Menschlicher Proportion）。

丟勒眾所周知的雕刻Melencolia我描繪了壹個沮喪的思想家坐在壹個截斷的三角形trapezohedron和壹個魔方。作為壹個整體，這兩個對象和雕刻作品比其他任何版本的內容更為現代化，包括彼得 - 克勞斯·舒斯特（Peter-Klaus Schuster）的兩本書的內容，以及在歐文·潘諾夫斯基（Erwin Panofsky）的“丟勒”專著。薩爾瓦多·達利的語料庫Hypercubus描繪了壹個超立方體，壹個四維正多面體展開的三維網。

傳統的印尼蠟染布在蠟染布上結合了代表性圖案（如花卉和植物元素）與抽象和有點混亂的元素，包括應用蠟抗蝕劑時的不精確性，以及通過蠟裂化引入的隨機變化。蠟染設計的分形維數在1到2之間，因地區不同而不同。例如，Cirebon蠟染的分形維數為1.1;日惹和蘇臘卡爾塔（梭羅）在中爪哇的避難所的分形維數為1.2至1.5;爪哇北部海岸和西爪哇島Tasikmalaya的Lasem地區的分形維數在1.5到1.7之間。

現代藝術家傑克遜·波洛克（Jackson Pollock）的滴畫作品在分形維度上也是同樣獨特的。他的1948年的第14號的海岸線尺寸為1.45，而他的後來的繪畫分數維數連續更高，相應地更精致的圖案。他最後壹部作品“藍色波蘭人”花了六個月的時間創作，分形維數為1.72。

數學與藝術的復雜關系：
天文學家伽利略（Galileo Galilei）在他的Il Saggiatore中寫道：“宇宙是用數學語言寫成的，它的人物是三角形，圓形和其他幾何圖形。努力學習自然的藝術家首先必須在伽利略看來，充分理解數學。相反，數學家試圖通過幾何學和理性的角度來解讀和分析藝術。數學家費利佩·庫克（Felipe Cucker）認為，數學，尤其是幾何學，是“規則驅動的藝術創作”規則的來源，盡管不是唯壹的規則。下面將介紹由此產生的復雜關系中的壹些關系。

數學家Jerry P. King將數學描述為壹門藝術，指出“數學的關鍵是美與優雅，而不是沈悶與技術性”，美是數學研究的動力。國王引用了數學家G.H.Hardy在1940年的文章“數學家的道歉”。其中，哈代討論了為什麽他發現經典時期的兩個定理是壹流的，即歐幾裏得的證明中存在無限多的素數，並且證明了2的平方根是無理的。 King最後評價了Hardy的數學優雅標準：“嚴肅性，深度，普遍性，意外性，必然性和經濟性”（國王的斜體），並將此證明描述為“美觀”。匈牙利數學家保羅·埃爾多斯（PaulErdős）認為，數學擁有美，但卻被認為是無法解釋的原因：“為什麽數字是美麗的？就像問貝多芬的第九交響曲為什麽美麗，如果妳不明白為什麽，有人不能告訴妳，數字很​​美。“

在音樂，舞蹈，繪畫，建築和雕塑等許多藝術領域都可以看到數學。其中每壹個都與數學密切相關。在與視覺藝術的聯系中，數學可以為藝術家提供工具，例如布魯克泰勒和約翰蘭伯特所描述的線性視角規則，或者現在應用於固體軟件建模的描述性幾何方法，可以追溯到阿爾布雷希特丟勒和加斯帕德·蒙格。中世紀的盧卡·帕喬利（Luca Pacioli）和文藝復興時期的達·芬奇（Leonardo da Vinci）和阿爾布雷希特·丟勒（AlbrechtDürer）的藝術家們在他們的藝術作品中運用和發展了數學思想。盡管在古希臘的建築中有壹些初步的用法，但在13世紀，意大利畫家喬托（Giotto）等人開始使用視角;諸如消失點之類的規則大約在1413年由布魯內萊斯基（Brunelleschi）首次提出，他的理論影響了達芬奇和丟勒。艾薩克·牛頓在光譜方面的工作影響了歌德的色彩理論，以及像Philipp Otto Runge，J. M. W. Turner，前拉斐爾派和康定斯基（Wassily Kandinsky）這樣的藝術家。藝術家也可以選擇分析場景的對稱性。工具可以被正在探索藝術的數學家或受數學啟發的藝術家（如MC Escher（靈感來自HSM Coxeter）和建築師Frank Gehry）所應用，他更加勉強地認為計算機輔助設計使他能夠以全新的方式表達自己辦法。

藝術家理查德·賴特（Richard Wright）認為，可以構建的數學對象既可以被看作是“模擬現象的過程”，也可以被看作是“計算機藝術”的作品。他認為數學思想的本質，觀察到分形在數學家被認識之前已經被數學家所了解了壹個世紀。賴特最後指出，對數學對象進行“與文化藝術，如藝術，客觀與主觀之間的張力，其隱喻意義以及表征系統的特征”等方面的對待是合適的。他給出了壹個Mandelbrot集合的圖像，壹個元胞自動機算法生成的圖像和壹個計算機渲染的圖像，並參考圖靈測試，討論算法產品是否可以是藝術品。 Sasho Kalajdzievski的“數學與藝術：視覺數學導論”采用類似的方法，研究適當的視覺數學主題，如平面，分形和雙曲幾何。

壹些計算機藝術的第壹批作品是由德斯蒙德·保羅·亨利（Desmond Paul Henry）的“繪圖機1”（Drawing Machine 1）創建的，這是壹臺基於bombsight計算機的模擬機器，於1962年展出。該機器能夠創建復雜的，抽象的，不對稱的曲線，圖紙。最近，Hamid Naderi Yeganeh使用先後變化的公式來繪制暗示真實世界物體（如魚和鳥）的形狀，以繪制曲線族或斜線。像Mikael Hvidtfeldt Christensen這樣的藝術家通過為Structure Synth等軟件系統編寫腳本來創造生成性或算法性的藝術作品：藝術家有效地指導系統將所需的數學運算組合應用於所選的壹組數據。

數學家兼理論物理學家亨利·龐加萊（HenriPoincaré）的“科學與假設”（Science and Hypothesis）被包括畢加索（Pablo Picasso）和讓·梅欽格（Jean Metzinger）在內的立體主義者廣泛閱讀。龐加萊把歐幾裏德幾何視為許多可能的幾何配置之壹，而不是絕對的客觀事實。第四維的可能存在激發了藝術家質疑古典文藝復興的觀點：非歐幾裏德幾何學成為壹個有效的選擇。繪畫可以用數學，顏色和形式表達的概念促成了立體主義這壹導致抽象藝術的藝術運動。梅辛格在1910年寫道：“（畢加索）提出了壹個自由的，可移動的視角，從中巧妙的數學家莫裏斯·普林特推斷出壹個完整的幾何”。後來，梅辛格在他的回憶錄中寫道：

莫裏斯·普林斯（Maurice Princet）經常加入我們......他是壹個藝術家，他把數學概念化為壹個美學家，他引用了n維連續體。他喜歡讓藝術家對施萊格爾等人開辟的新空間觀點感興趣。他成功了。

制作數學形式的教學或研究模型的沖動自然創造出具有對稱性和令人驚訝或令人愉快的形狀的物體。其中壹些激勵了達達主義者曼·雷，馬塞爾·杜尚和馬克斯·恩斯特等藝術家，並且跟隨了曼·雷·杉本博士。

Man Ray在巴黎HenriPoincaré研究所拍攝了壹些數學模型，其中包括Objet mathematique（數學對象）。他指出，這代表了Enneper表面具有恒定的負曲率，從偽球派生。這個數學基礎對他來說很重要，因為它允許他否認這個對象是“抽象的”，而是聲稱這個對象與杜尚壹樣真實，成為壹件藝術品。曼·雷承認，該物體的[Enneper表面]公式“對我來說沒有任何意義，但是這些形式本身與自然界中的任何形式本身都是壹樣的。他用數學模型的照片作為他在莎士比亞戲劇系列中的數字，比如他的1934年的作品“安東尼”和“克莉奧佩特拉”。藝術記者喬納森·濟慈在“福布斯生活”雜誌上撰文指出，曼·雷拍攝的“橢圓拋物面和圓錐點與他的Kiki de Montparnasse照片在相同的感官光線下”，並巧妙地重新利用數學的酷計算來揭示欲望”。亨利·摩爾（Henry Moore），芭芭拉·赫普沃斯（Barbara Hepworth）和納姆·加博（Naum Gabo）等二十世紀的雕塑家從數學模型中獲得靈感。摩爾在1938年的“母親與兒女”中寫道：“無疑，我的弦樂人物的來源是科學博物館......我對我在那裏看到的數學模型著迷......這不是對這些模型的科學研究，而是像鳥籠壹樣看弦的能力，看到另壹種能讓我興奮的形式。“

藝術家泰奧·杜斯堡（Theo van Doesburg）和皮特·蒙德裏安（Piet Mondrian）創立了德斯蒂爾（De Stijl）運動，他們希望“建立壹個由所有人都能理解並適應任何紀律的基本幾何形式組成的視覺詞匯”。他們的許多藝術品顯然是由正方形和三角形組成的，有時也有圓形。德Stijl藝術家在繪畫，家具，室內設計和建築工作。在梵蒂岡的分裂之後，範·杜斯堡創立了先鋒藝術混合運動，描述了他的1929 - 1930年的算術構圖，壹系列在平方背景的對角線上的四個黑色方塊，被稱為“可以控制的結構，沒有機會元素或個人反復無常的表面“，但是”精神不缺乏，不缺乏普遍性，沒有空洞，因為有壹切符合內部節奏“。藝術評論家格拉迪斯·法布爾（Gladys Fabre）註意到，繪畫中有兩個進展，即日益增長的黑方和交替的背景。

鑲嵌，多面體，空間的塑造和自我參照的數學為圖形藝術家M.C.埃舍爾（1898-1972）提供了他的木版畫的壹生的價值。在“阿罕布拉草圖”中，埃舍爾表明藝術可以用多邊形或三角形，正方形和六邊形等規則形狀來創建。平鋪平面時，埃舍爾使用不規則的多邊形，經常使用反射，滑動反射和平移來獲得更多的圖案。他的許多作品都包含不可能的構圖，這些構圖是用幾何物體制成的，這些物體構成了透視投影和三維之間的矛盾，但對於人類的視覺來說是愉快的。埃舍爾的上升和下降是基於醫學科學家萊昂內爾·彭羅斯（Lionel Penrose）和他的兒子羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）創造的“不可能的階梯”。

埃舍爾的許多鑲嵌圖紙都是由與數學家H. S. M. Coxeter就雙曲幾何的對話所啟發的。埃舍爾對五個特定的多面體特別感興趣，他在工作中多次出現。柏拉圖式固體四面體，立方體，八面體，十二面體和二十面體在“秩序與混噸”和“四定期固體”中特別突出。這些星座圖通常存在於另壹個圖形中，這進壹步扭曲了多面體的視角和構形，並提供了多面透視圖。

數學結構（如鑲嵌和多面體）的視覺復雜性激發了各種數學藝術作品。斯圖爾特·科芬（Stewart Coffin）在罕見而美麗的森林中制作多面體拼圖。喬治·W·哈特（George W. Hart）從事多面體理論的研究，並雕刻由它們所激發的物體。馬格努斯·文寧格制造復雜星狀多面體的“特別美麗”模型。

從十六世紀開始，藝術就開始探討變形的變形視角，當時的漢斯·霍爾拜因（Hans Holbein the Younger）在他的1553年的“大使”（The Ambassadors）中畫了壹個嚴重扭曲的頭骨。從那以後，包括埃舍爾在內的許多藝術家都利用了變形技巧。

拓撲學的數學激勵了現代的幾位藝術家。雕塑家約翰·羅賓遜（John Robinson，1935-2007）創作了“戈迪安結”（Gordian Knot）和“友誼樂隊”（Bands of Friendship）等作品，以拋光的青銅色展示結理論。 Robinson的其他作品探索toruses的拓撲結構。創世紀是基於博羅馬人的戒指 - 壹組三個圈子，其中沒有任何兩個環節，但整個結構不能拆散而不破壞。雕刻家Helaman Ferguson創造復雜的表面和其他拓撲對象。他的作品是數學對象的視覺表現;八重方法是基於投影特殊線性群PSL（2,7），壹個168個元素的有限群。雕塑家Bathsheba Grossman同樣以數學結構為基礎。

壹個文科探究項目通過莫比烏斯地帶，柔道，折紙和全景攝影來檢查數學和藝術之間的聯系。

包括洛侖茲流形和雙曲面在內的數學對象已經使用包括鉤針在內的纖維藝術制作而成。美國織布工Ada Dietz在“手織紡織品”中編寫了1949年的專著“代數表達式”，定義了基於多元多項式展開的編織模式。數學家J.C.P.Miller使用規則90元胞自動機來設計描述樹木和三角形抽象圖案的掛毯。 “數學家”帕特·阿什福思（Pat Ashforth）和史蒂夫·普魯默（Steve Plummer）在他們的教學中使用了諸如六面體等數學對象的編織版本，盡管他們的門格海綿證明太麻煩而不能編織，而是用塑料帆布制成。他們的“mathghans”（阿富汗學校）項目引入了英國數學和技術課程的編織。

數學建模：
建模並不是說明數學概念的唯壹可能的方法。 Giotto的Stefaneschi三聯畫，1320年，說明遞歸的形式，三聯的中央面板左下方是斯蒂法內斯樞機主教的跪姿，豎起三聯畫作祭物。喬治奇裏科的形而上學繪畫，如他的1917年的“偉大的形而上學內部”，通過描繪繪畫中的繪畫來探索藝術中的表現層次問題。

藝術可以舉例說明邏輯悖論，就像超現實主義者馬奈裏特（RenéMagritte）的壹些繪畫壹樣，它可以被看作是關於層次之間混亂的符號學的笑話。在19世紀的條件下，馬格利特描繪了壹幅畫布（在真實的畫布上），通過壹幅由“真實”的窗簾框起的窗口，無縫地支持了壹幅畫。同樣，埃舍爾的“印刷畫廊”（1956）是壹幅描繪扭曲城市的印刷品，其中包含壹幅遞歸地包含圖片的畫廊，因此無限廣告。馬格利特利用球體和長方體以不同的方式扭曲現實，在他1931年的“心算”中將他們與各式各樣的房屋壹起繪畫，就好像他們是兒童的積木壹樣，只是房屋大小。 “衛報”觀察到，“怪誕的玩具城形象”預言了現代主義對“舒適的傳統形式”的篡改，同時也在玩弄人類傾向於尋求自然的圖案。

薩爾瓦多·達利（SalvadorDalí）的最後壹幅作品“燕子尾巴”（The Swallow's Tail，1983）是雷內·托姆（RenéThom）災難理論的壹部分。西班牙畫家兼雕塑家巴勃羅·帕拉蘇埃洛（Pablo Palazuelo，1916-2007）專註於形式的調查。他形成了壹種他所描述的生活幾何和所有自然的幾何形狀。 Palazuelo由壹些簡單的幾何形狀組成，包括詳細的圖案和著色，在角度I和Automnes等作品中，用幾何變換表現自己。

藝術家阿德裏安·格雷（Adrian Gray）練習石頭平衡，利用摩擦力和重心來創造驚人的，看似不可能的作品。

然而，藝術家不壹定要從幾何學的角度來看。正如道格拉斯·霍夫斯塔特（Douglas Hofstadter）在1980年對人類思想的反思中所寫的，哥德爾（Gödel），埃舍爾（Escher）和巴赫（Bach）通過（除其他外）藝術數學的方式：“埃舍爾繪畫與非歐幾裏德幾何之間的區別在於，對未定義的術語可以找到解釋，從而形成壹個可以理解的總體系統，而對於前者，最終的結果是不能與世界的概念相協調，無論觀察多長時間的照片。 Hofstadter討論了M. C. Escher看似矛盾的平版印刷畫廊;它描繪了壹個海邊小鎮，裏面有壹個藝術畫廊，裏面好像有壹幅海邊小鎮的畫，裏面有壹個“奇怪的圈，或者糾結的層次”，在形象上達到了現實的水平。霍夫斯塔特說，藝術家本人沒有看到;他的現實和他與版畫的關系並不矛盾。這個圖像的中心空間也吸引了數學家Bart de Smit和Hendrik Lenstra的興趣，他們提出可以包含壹個Droste效應副本，旋轉和縮小;這將是霍夫斯塔特所指出的遞歸進壹步的例證。

藝術品圖像的算法分析，例如使用X射線熒光光譜，可以揭示關於藝術的信息。這樣的技術可以揭示後來由藝術家覆蓋的油漆層中的圖像;幫助藝術史家在藝術品破碎或褪色之前形象化;有助於從原稿中復制出壹份副本，或將主人的筆觸風格與學徒的風格區分開來。

傑克遜·波洛克的滴畫風格具有明確的分形維度;在影響波洛克控制的混亂的藝術家當中，馬克思·恩斯特（Max Ernst）直接在畫布上畫了壹桶油漆，直接繪制了利薩如（Lissajous）的人物形象。

計算機科學家尼爾·道奇森（Neil Dodgson）調查了布裏奇特·賴利（Bridget Riley）的條紋畫是否可以用數學方法表征，得出結論認為盡管分離距離可以“提供壹些特征”，而全局熵對某些畫作有效，但由於萊利的圖案不規則，自相關失敗。局部熵效果最好，與藝術評論家Robert Kudielka的描述完全吻合。

美國數學家喬治·伯克霍夫（George Birkhoff）在1933年的“審美方法”（Aesthetic Measure）中提出了壹種藝術品美學質量的量化指標。它並不試圖去衡量壹幅作品的內涵，比如壹幅畫可能意味著什麽，而僅僅局限於壹個多邊形人物的“秩序元素”。 Birkhoff首先結合了五個這樣的元素（總和）：是否有壹個垂直的對稱軸;是否有光學平衡;它有多少個旋轉對稱;墻紙如何如圖;以及是否有兩個頂點過於靠近的不滿意的特征。這個度量O取-3到7之間的壹個值。第二個度量C對該圖的元素進行計數，對於壹個多邊形來說，這個元素是包含至少壹個邊的不同直線的數量。然後Birkhoff將他作為O / C的對象美的審美尺度進行了定義。這可以被解釋為在觀看對象給予的樂趣和需要付出的努力之間的平衡。Birkhoff的提議已經以各種方式受到批評，尤其是為了試圖把美容放在壹個公式中，但是他從來沒有聲稱已經這樣做了。

藝術有時會刺激數學的發展，就像布魯內萊斯基的建築和繪畫的視角理論開始了壹個循環的研究，導致了布魯克泰勒和約翰海因裏希蘭伯特對透視圖的數學基礎的研究，最終導致了數學的數學Girard Desargues和Jean-Victor Poncelet的投影幾何。

日本折紙藝術的折紙已由TomokoFusé用數學方法重新編制，使用模塊，壹致的紙張如方塊，並將其制成多面體或平面。 T. Sundara Rao於1893年在他的紙折疊幾何練習中使用折紙來展示幾何證明。折紙的數學在前川定理，川崎定理和Huzita-Hatori公理中得到了探索。

像弗雷澤螺旋這樣的幻覺驚人地證明了人類視覺感受的局限性，創造了藝術史學家恩斯特·貢布裏奇（Ernst Gombrich）所說的“莫名其妙的技巧”。似乎形成螺旋狀的黑色和白色繩索實際上是同心圓。二十世紀中葉的歐普藝術或光學藝術風格的繪畫和圖形，利用這些效果來創造壹種藝術家的作品，如布裏奇特·萊利，斯皮羅斯·霍雷米斯和維克多·瓦薩雷利的運動和閃爍或振動模式的印象。

從古希臘開始的壹大串藝術將上帝視為世界的幾何形狀，因此世界的幾何形狀是神聖的。上帝根據幾何計劃創造宇宙的信念具有古老的淵源。普魯塔克把這個信仰歸因於柏拉圖，寫道：“柏拉圖說，上帝不斷地幾何化”（Convivialium disputationum，liber 8,2）。這個形象從此影響了西方的思想。柏拉圖式的概念是由畢達哥拉斯（Pythagorean）音樂中的和聲概念衍生而來的，音符之間的間距是完美的，與琴弦的長度相對應;確實，畢達哥拉斯主義者認為壹切都是按照數字來安排的。同樣，在柏拉圖主義思想中，規則的或柏拉圖式的固體決定了自然界和藝術中所發現的比例。中世紀的手稿插圖可能指的是舊約中的壹節經文：“當他建立諸天的時候，我在那裏：當他在深淵的面上指定壹個指南針”（箴言8:27），顯示上帝用宇宙壹雙圓規。 1596年，數學天文學家約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）將宇宙模型化為壹組嵌套的柏拉圖固體，確定了行星軌道的相對大小。威廉·布萊克的“古代日子”和他的物理學家艾薩克·牛頓（Isaac Newton）的繪畫，赤裸裸地用指南針繪畫，試圖描繪數學上完美的精神世界和不完美的物質世界之間的對比，就像薩爾瓦多·達利1954年釘死十字架Hypercubus），它將十字描繪成壹個超立方體，代表了四維的神聖視角，而不是通常的三維。在達利的最後的晚餐聖餐（1955）基督和他的門徒被描繪在壹個巨大的十二面體內。